[경영과학] 대기행렬 문제 풀이 (이용도 · 대기인원 · 대기시간 풀이)

이런 문제가 올라왔습니다.

 

 

아주 오랫만에 보는 대기행열 관련 문제입니다.

아래와 같이 풀 수 있습니다.

 

 

[문제 요약]

• 택시 3대(c=3)
• 도착: 평균 2.4명/시간, 도착간격 ~ 지수분포 → 도착률 λ = 2.4 (명/시간)
• 서비스: 고객당 평균 50분, 서비스시간 ~ 지수분포
• 합승 없음 → M/M/3 모델

간단히 아래와 같은 약어 사용이 가능합니다.

• 이용도 : rho
• 평균대기시간 : Wq
• 평균대기인원 : Lq

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(a) 이용도(ρ) 구하기

1. 평균 서비스시간 = 50분 = 50/60 시간 = 5/6 시간
2. 서비스율(택시 1대당) μ = 1 / (평균 서비스시간)
   μ = 1 / (5/6) = 6/5 = 1.2 (명/시간)
3. 택시 3대이므로 이용도 ρ = λ / (c * μ)
   ρ = 2.4 / (3 * 1.2)
   ρ = 2.4 / 3.6
   ρ = 2/3 = 0.6667

[답] ρ = 2/3 ≈ 0.667

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(b) 택시를 기다리는 평균 고객수(Lq)

M/M/3에서 표준 공식 사용.

1. a = λ / μ
   a = 2.4 / 1.2 = 2
2. P0 = 1 / { SUM(n=0 to c-1) [a^n / n!] + [a^c / (c! * (1-ρ))] }SUM(n=0 to 2) [a^n / n!]
   = (2^0/0!) + (2^1/1!) + (2^2/2!)
   = 1 + 2 + 2
   = 5따라서 P0 = 1 / (5 + 4) = 1/9
3. a^c / (c! * (1-ρ))
   = 2^3 / (3! * (1-2/3))
   = 8 / (6 * (1/3))
   = 8 / 2
   = 4
4. c=3, a=2, ρ=2/3
5. Lq = P0 * [ (a^c * ρ) / (c! * (1-ρ)^2 ) ]Lq = (1/9) * [ (8 * (2/3)) / (6 * (1/9)) ]
   = (1/9) * [ (16/3) / (2/3) ]
   = (1/9) * 8
   = 8/9
   ≈ 0.8889
6. (1-ρ) = 1/3 → (1-ρ)^2 = 1/9
   a^c = 2^3 = 8
   c! = 3! = 6

[답] Lq = 8/9 ≈ 0.889 명

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(c) 고객의 평균 대기시간(Wq)

리틀의 법칙(대기열): Lq = λ * Wq

Wq = Lq / λ
Wq = (8/9) / 2.4

2.4 = 12/5 이므로
Wq = (8/9) / (12/5)
= (8/9) * (5/12)
= 40/108
= 10/27 시간
≈ 0.37037 시간

분으로 변환:
0.37037 시간 * 60분/시간 ≈ 22.22 분

[답] Wq = 10/27 시간 ≈ 22.22 분

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(d) M/M/1에서 시스템 내 3명일 확률 P3

주어진 값: λ = 2, μ = 3
ρ = λ/μ = 2/3

M/M/1 정상상태 확률:
Pn = (1-ρ) * (ρ^n)

P3 = (1-2/3) * ( (2/3)^3 )
= (1/3) * (8/27)
= 8/81
≈ 0.09877

[답] P3 = 8/81 ≈ 0.0988